\chapter{库恩塔克定理}
	\textbf{最简单的情况}，最大化问题仅包含自变量的非负约束，
	\begin{align*}
	\max&\hspace{2em}\pi=f(x_1)\\
	s.t.&\hspace{2em}x_1\ge 0
	\end{align*}

	观察图形可以知道必须满足如下三种情形之一：
	\begin{align*}
	f'(x)=0, \hspace{2em}x_1>0\\
	f'(x)=0, \hspace{2em}x_1=0\\
	f'(x)<0, \hspace{2em}x_1=0
	\end{align*}

	上述三个条件可以合并为一，
	\[ f'(x_1)\le 0,\hspace{2em}x_1\ge 0,\hspace{2em} x_1f'(x_1)=0 \]
	
	\textbf{拓展至$ p $个变量}，
	\begin{align*}
	\max&\hspace{2em}\pi=f(x_1,x_2,\cdots,x_p)\\
	s.t.&\hspace{2em}x_j\ge 0\hspace{1em}(j=1,2,\cdots,p)
	\end{align*}
	
	一阶条件为，
	\[ f_j\le 0,\hspace{1em}x_j\ge 0,\hspace{1em}x_jf_j=0\hspace{1em}(j=1,\cdots,p) \]
	
	\textbf{稍微复杂点的情况，}除了自变量非负，还包含其他不等式约束，
	\begin{align*}
	\max\hspace{2em}&\pi=f(x_1,x_2,x_3)\\
	s.t.\hspace{2em}&g^1(x_1,x_2,x_3)\le r_1\\
	&g^2(x_1,x_2,x_3)\le r_2\\
	& x_1,x_2,x_3 \ge 0
	\end{align*}
	
	一般通过构造拉格朗日函数，
	\[ L=f(x_1,x_2,x_3)+\lambda_1(r_1-g^1(x_1,x_2,x_3))+ \lambda_2(r_2-g^2(x_1,x_2,x_3))\]
	
	得到库恩塔克条件如下，
	\begin{align*}
	\frac{\partial L}{\partial x_j}=f_j-(\lambda_1g_j^1+\lambda_2g_j^2)\le 0,\hspace{1em}x_j\ge 0,\hspace{1em}x_j\frac{\partial L}{\partial x_j}=0\\
	\frac{\partial L}{\partial \lambda_i}=r_i-g^i(x_1,x_2,x_3)\ge 0,\hspace{1em}y_i\ge 0,\hspace{1em}\lambda_i\frac{\partial L}{\partial \lambda_i}=0\\
	\end{align*}
